如图.在平面直角坐标系中.直线y=-12x+b分别交x轴.y轴于A.B两点.以OA.OB为边作矩形OACB.D是直线BC上的动点.以M为斜边端点作等腰直角三角形PMN.点P在第一象限．(1)求直线AB过点P时b的值,(2)在b的值变化过程中.若以P.B.D为顶点的三角形与△OAB相似.请求出所有符合条件的b的值,(3)设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

x+b(b＞0)分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D是直线BC上的动点，以M（2，0），N（12，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限．
（1）求直线AB过点P时b的值；
（2）在b的值变化过程中，若以P、B、D为顶点的三角形与△OAB相似，请求出所有符合条件的b的值；
（3）设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S，当0＜b＜5时，求S与b的函数关系式．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）过P点，即P点坐标满足方程，代入即得答案．
（2）相似的条件是角相等，本题只问相似时b的值，未要求求出全部的图象，所以我们只讨论角相等成立的可能就行．这里因为∠DBP≠90°，则构造∠DBP=∠OAB或∠DBP=∠OBA即可，当然要注意有b＜5和b＞5两种情形．
（3）重叠面积一般我们用一个规则图象减去未重叠部分面积来表示．讨论时注意多种情形，我们可以考虑A、C点的位置，A在OM上，C在PM左边，PM和PN之间，PN右边这四种情形．

解答：解：
（1）

如图1，过点P作PH⊥MN于H，此时MH=NH．
∵M（2，0），N（12，0），
∴H（7，0），PH=

MN=5，
∴P（7，5）．
将P点坐标代入得直线y=-

x+b，
解得 b=

．

（2）
显然，∠DBP≠90°，
①当∠DBP=∠OAB时，

b＜5时，如图2，连接OC，过点P作PB₁∥OC交y轴于B₁，过点B₁作B₁E∥x轴．
∵四边形OACB为矩形，
∴∠COA=∠OAB，
∴∠EB₁P=∠COA=∠OAB，则B₁E上存在D点使得△PB₁D∽△B₁A₁O，
∵y=-

x+b分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴A（2b，0），B（0，b），
∴C（2b，b）
设直线OC为y=kx+c，代入O（0，0），C（2b，b），
解得

b=0

，
∴OC：y=

x，
∵PB₁∥OC
∴可设B₁P为 y=

x+b，
∵P（7，5）过直线B₁P，
∴代入P点坐标，解得b=

．

b＞5时，如图3，过点P作PB₂∥BA交y轴于B₂，过点B₂作B₂F∥x轴，则∠PB₂O=∠ABO．
∵∠PB₂O+∠PB₂F=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠PB₂F=∠OAB，则B₂F上存在D点使得△PB₂D∽△B₂A₂O，
∵PB₂∥BA
∴可设B₂P为 y=-

x+b，
∵P（7，5）过直线B₂P，
∴代入P点坐标，解得b=

．

②当∠DBP=∠OBA时，

b＜5时，因为∠DBP=∠OBA且∠OBA+∠DBA=90°，所以∠PBA=∠DBP+∠DBA=90°，即PB⊥BA，如图4，过点P作BA的垂线，y正半轴无交点．

b＞5时，如图5，以O为圆心分别以OB，OA的长为半径画弧，分别交x轴，y轴于K，J，易得△JKO≌△ABO，则∠KJO=∠BAO．
过点P作PB₃∥JK交y轴于B₃，过点B₃作B₃G∥x轴，则∠PB₃O=∠KJO=∠BAO．
∵∠PB₃O+∠PB₃G=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠PB₃G=∠ABO，则B₃G上存在D点使得△PB₃D∽△B₃A₃O．
∵A（2b，0），B（0，b），
∴J（0，2b），K（b，0），
可设JK为 y=kx+c代入J，K两点，求得

k=-2

c=2b

，
则JK：y=-2x+2b
∵PB₃∥JK
∴可设B₃P为 y=-2x+b，
∵P（7，5）过直线B₃P，
∴代入P点坐标，解得b=19．
综上所述，b=

或

或19时，存在以P、B、D为顶点的三角形与△OAB相似．

（3）
①当A在OM上时，S=0．把M（2，0）代入y=-

x+b，得b=1，即当0＜b≤1时，S=0．
②

如图6，记CA与PM的交点为L，当C在PM左边时，S=S_△MAL．
∵M（2，0），N（12，0），P（7，5），
∴可由待定系数法求得直线PM：y=x-2，直线PN：y=-x+12．
把C（2b，b）代入直线PM：y=x-2，得b=2，此时C（4，2），即当1＜b≤2时，S=S_△MAL，
∵K的横坐标为2b，
∴代入直线PM：y=x-2可求坐标，
∴L（2b，2b-2），
∴S_△MAL=

MA•ML=

•(2b-2)•(2b-2)=2b²-4b+2
∴S=2b²-4b+2，即当1＜b≤2时，S=2b²-4b+2．
③

如图7，记BC与PM的交点为Q，当C在PM右边，PN左边时，S=S_矩形BOAC-S_梯形BOMQ，
把C（2b，b）代入直线PN：y=-x+12，得b=4，此时C（8，4），即当2＜b≤4时，S=S_矩形BOAC-S_梯形BOMQ，
∵Q点的纵坐标为b，直线PM：y=x-2，求得Q（b+2，b），
∴S_梯形BOMQ=

(BQ+OM)•OB=

•(b+2+2)•b=

+2b，
S_矩形BOAC=OB•OA=b•2b=2b²，
∴S=

3b2

-2b．即当2＜b≤4时，S=

3b2

-2b．
④

当4＜b＜5时，如图8，此时C在PN的右边，记PM分别交BC，CA于H，I，则S=S_矩形BOAC-S_梯形BOMQ-S_△HIC．
∵E点的纵坐标为b，F点的横坐标为2b，
∴代入直线PN：y=-x+12可求坐标，
∴E（12-b，b），F（2b，12-2b），
∴EC=2b-（12-b）=3b-12，CF=b-（12-2b）=3b-12，
∴S_△HIC=

•EC•FC=

•(3b-12)•(3b-12)=

b2-36b+72，
∴S=S_矩形BOAC-S_梯形BOMQ-S_△HIC=

3b2

-2b-（

b2-36b+72）=-3b²+34b-72．

点评：本题主要考查函数的性质，其中由点求直线方程和由直线方程求点坐标是非常常规的工作，也是本题的核心．另外对直线方程y=kx+b，k值相等表示平行，反之亦然，要熟练掌握．总体来说本题难度较高，解题时要找准讨论问题的突破口．

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（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标；
（3）当△PBC的面积为

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