Question

如图，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB=4OC．若抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积；
（3）有两动点M，N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．
①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②判断在①的过程中，t为何值时，△OMN的面积最大？

Answer 1

解：（1）∵tan∠OBA==，
∴OA=OB•tan∠OBA=8×=6，则A的坐标是（6，0）．
∵OB=4OC，
∴OC=OB=2，则C的坐标是（-2，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C，
则
解得：，
则抛物线的解析式是：y=x²-x-8；


（2）抛物线的顶点的横坐标 x=-=2，
纵坐标是：y=×2²-×2-8=-．
则P的坐标是：（2，-）．
S_{四边形OAPB}=S_梯形ODPB+S_△APD
=（8+）×+×（6-2）×
=40；


（3）当 0＜t≤2 时，S_△OMN=×4t×2t=4t²；
当t=2时，S最大，最大值为16；
当 2＜t＜3 时，BN=4t-8，AN=10-（4t-8）=18-4t．
作NQ⊥x轴于Q点，则=，
∴NQ=．
∴S_△OMN=×2t×=-t²+t；
当t=时S最大，最大值为 ；
当 3≤t＜4 时，MN=△OAB的周长-4t-2t=24-6t．
作OQ⊥AB于Q点．
∵S_△OAB=OA×OB=AB×OQ，
∴OQ==．
∴S_△OMN=××（24-6t）=-t+；
当t=3时S最大，最大值为．
综上所述，在整个运动过程中，当t=时S_△OMN最大，最大值为 ．
分析：（1）根据已知条件可求OA、OC的长度，从而得A、B、C三点坐标．代入抛物线解析式中得方程组求解；
（2）根据解析式求顶点P的坐标．作PD⊥x轴于D点，则四边形OAPB的面积=梯形ODPB的面积+△APD的面积；
（3）分段表示：①0＜t≤2； ②2＜t＜3； ③3≤t＜4．
根据函数关系式求面积最大值．
点评：此题考查了用待定系数法求函数解析式及应用分类思想求运动过程中图形的面积计算，综合性强，难度大．