Question

6．两直角△如图放置，∠AOB=∠ABC=90°，OA=OB=3，点C到OA、OB的距离分别为4，1．将△OAB沿射线OA方向移m个单位（0＜m＜3），得到新△O₁A₁B₁与△ABC重叠部分的面积记为S，则能表示S与m的函数关系如图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 ①当0＜m≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，如图1，设A₁B₁与AC交于D，过D作DG⊥AO于G，过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，由已知条件得到OE=CF=1，CE=4，OO₁=AA₁=m，得到DG=A₁G=2m-1，于是求得S=3m-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m（2m-1）=-$\frac{3}{2}$m²$+\frac{7}{2}$m；②当$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜m＜3时，如图2，设AB与AC交于D，AC与B₁O₁交于G，过D作DG⊥AO于G，过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，求得AO₁=DO₁=3-m，根据GO₁∥CE，得到$\frac{G{O}_{1}}{CE}=\frac{A{O}_{1}}{AE}$，求出GO₁=6-2m，于是得到S=$\frac{1}{2}$（3-m）（6-2m）-$\frac{1}{2}$（3-m）（3-m）=$\frac{1}{2}$m²-3m+$\frac{9}{2}$．

解答 解：①当0＜m≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，如图1，
设A₁B₁与AC交于D，过D作DG⊥AO于G，过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
∵C到OA、OB的距离分别为4，1，
∴OE=CF=1，CE=4，
∴AE=2，DG=A₁G，
∵将△OAB沿射线OA方向移m个单位（0＜m＜3），得到新△O₁A₁B₁，
∴OO₁=AA₁=m，
∴DG=A₁G=2m-1，
∴S=3m-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m（2m-1）=-$\frac{3}{2}$m²$+\frac{7}{2}$m，
②当$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜m＜3时，如图2，
设AB与AC交于D，AC与B₁O₁交于G，过D作DG⊥AO于G，过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
∵C到OA、OB的距离分别为4，1，
∴OE=CF=1，CE=4，
∴OO₁=AA₁=m，
∴AO₁=DO₁=3-m，
∵GO₁∥CE，
∴$\frac{G{O}_{1}}{CE}=\frac{A{O}_{1}}{AE}$，
∴GO₁=6-2m，
∴S=$\frac{1}{2}$（3-m）（6-2m）-$\frac{1}{2}$（3-m）（3-m）=$\frac{1}{2}$m²-3m+$\frac{9}{2}$，
故选C．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，三角形面积的求法，正确的画出图形是解题的关键．