Question

16．已知二次函数y₁=a（x-1）²，一次函数y₂=bx+c，y₂的图象是由一条过原点的直线向右平移一个单位得到的，把y₁向上平移t个单位，y₂向下平移t个单位（t＞0），图象恰好交于原点，下列命题中，真命题是①②③（填序号）．
①y₁与y₂的图象有两个交点；
②a＜0；
③a+c=0；
④y₁与两坐标轴围成的面积比y₂与两坐标轴围成的面积大．

Answer 1

分析 ①列方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=a（x-1）^{2}}\\{{y}_{2}=bx+c}\end{array}\right.$可知x有两个解，则y₁与y₂的图象有两个交点；
②把（0，0）代入y₁向上平移t个单位的解析式y=a（x-1）²+t中，可求得a＜0；
③把（0，0）代入y₂向下平移t个单位的解析式中可求得；
④画图，y₁与两坐标轴围成的面积比△BOC的面积小，y₂与两坐标轴围成的面积是△AOB的面积，通过计算发现：S_△BOC=S_△AOB，y₁与两坐标轴围成的面积比y₂与两坐标轴围成的面积小，结论不正确．

解答 解：由y₂的图象是由一条过原点的直线向右平移一个单位得到的，则y₂过（1，0），
把（1，0）代入y₂=bx+c，0=b+c，
b=-c，
∴y₂=bx-b，
把y₁向上平移t个单位，关系式为：y=a（x-1）²+t，
把（0，0）代入得：0=a+t，
a=-t，
∵t＞0，
∴a＜0，
故选项②正确；
由y₂向下平移t个单位（t＞0），图象恰好交于原点，
y=bx-b-t，
把（0，0）代入得：0=-b-t，
b=-t，
∴a=b=-c，
∴a+c=0，
故选项③正确；
由题意得：a（x-1）²=bx+c，
a（x-1）²=ax-a，
∵a＜0，
∴（x-1）²=x-1，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴y₁与y₂的图象有两个交点；
故选项①正确；
④如图1，连接BC，
当x=0时，y₂=-b，
∴OA=-b，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×1×（-b）=-$\frac{b}{2}$，
当x=0时，y₁=a，
∴OC=-a，
∴S_△BOC=S_△AOB，
由图可知：y₁与两坐标轴围成的面积比y₂与两坐标轴围成的面积小，
故选项④不正确；
所以本题正确有结论有：①②③，
故答案为：①②③．

点评 本题是一次函数与二次函数的几何变换，要熟练掌握平移原则是关键；二次函数向上或向下平移，只需在解析式中加或减就可以；一次函数向左或向右移动时，找平移后经过的点的坐标，代入即可．