Question

如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格．将边长为n(n为整数，且2≤n≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相同地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止．

请你认真观察思考后回答下列问题：

(1)由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

(2)设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S₁，未被盖住的面积为S₂．

①当n＝2时，求S₁∶S₂的；

②是否存在使得S₁＝S₂的n值，若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)依次为：11、10、9、8、7; 　　(2)S1＝n2＋(12－n)[n2－(n—1)2]＝－n2＋25n－12．①当n＝2时，S1＝－22＋25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110．∴S1∶S2＝34∶110＝17∶55．③若S1＝S2，则有－n2＋25n－12＝×122，即 　　n2－25n＋84＝0．解得n1＝4，n2＝21(舍去)．∴当n＝4时，S1＝S2．∴这样的n值是存在的．