Question

19．如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．
求证：MN=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）

Answer 1

分析 首先通过△ABM≌△DBM，得到AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．

解答 证明：∵AM⊥BM，
∴∠AMB=∠DMB=90°，
∵BM平分∠ABD，
∴∠ABM=∠DBM，
在△ABM与△DBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠DMB}\\{BM=BM}\\{∠ABM=∠DBM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DBM（asa），
∴AB=DB，AM=DM，
同理：AN=EN，AC=CE，
∴MN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$（DB+BC+CE）=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．