Question

已知二次函数的解析式为y=x²-mx+m-1（m为常数）．
（1）求证：这个二次函数图象与x轴必有公共点；
（2）设这个二次函数图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．当BC=时，求m的值．

Answer 1

（1）证明：∵△=m²-4（m-1）=m²-4m+4=（m-2）²≥0，
∴这个二次函数图象与x轴必有公共点；

（2）解：∵当y=0时，x²-mx+m-1=0，（x-m+1）（x-1）=0，
∴x₁=m-1，x₂=1，
如果点A为 （1，0），那么点B （m-1，0）．而C（0，m-1）．
∵BC=，
∴BC²=（m-1）²+（m-1）²=（3）²，
∴m=-2（不符合题意，舍去）或m=4．
如果点A为 （m-1，0），那么点 B为 （1，0）．而C（0，m-1）．
BC²=1²+（m-1）²=（3）²，解得m=1+（不合题意，舍去）或m=1-．
∴m的值为4或1-．
分析：（1）根据一元二次方程根的判别式进行解答即可；
（2）令y=0求出AB两点的坐标，用m表示出C点坐标，再根据勾股定理求出m的值即可．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题及勾股定理，在解答（2）时要注意进行分类讨论，不要漏解．