在平面直角坐标系xOy中.对于任意三点A.B.C.给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行.且A.B.C三点都在矩形的内部或边界上.则称该矩形为点A.B.C的外延矩形．点A.B.C的所有外延矩形中.面积最小的矩形称为点A.B.C的最佳外延矩形．例如.图1中的矩形A1B1C1D1.A2B2C2D2.A3B3CD3都是点A.B.C的外延矩形.矩形A3B3CD3是点A.B.C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图1中的矩形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，A₃B₃CD₃都是点A，B，C的外延矩形，矩形A₃B₃CD₃是点A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图1，已知A（-2，0），B（4，3），C（0，t）．
①若t=2，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为18；
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则t的值为4或-1；
（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（x，y）是抛物线y=-x²+4x+5上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围；
（3）如图3，已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．

分析（1）①利用最佳外延矩形的定义求解即可，②利用最佳外延矩形的定义求解即可；
（2）先求出M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小，利用抛物线求出与y轴及矩形的交点即可求出点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值时点P的横坐标x的取值范围；
（3）求出OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形时⊙H的半径及当点E的纵坐标为1时矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形时⊙H的半径即可．

解答解：（1）①如图1，

∵A（-2，0），B（4，3），C（0，2）．
∴点A，B，C的最佳外延矩形的面积为[4-（-2）]×3=18．
故答案为：18．
②如图2，

∵点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，
∴A（-2，0），B（4，3），C（0，4）或A（-2，0），B（4，3），C（0，-1）．
∴t=4或t=-1；
故答案为：4或-1．
（2）如图3，过M点作x轴的垂线与过N点垂直于y轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小．
∵S_矩形OMQN=OM•ON=6×8=48，
∴点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为48．
抛物线y=-x²+4x+5与y轴交于点T（0，5）．
令y=0，有-x²+4x+5=0，
解得  x=-1（舍），或x=5．
令y=8，有=-x²+4x+5=8，
解得  x=1，或x=3．
∴0≤x≤1，或3≤x≤5．
（3）如图4，OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，

∵点D（1，1），
∴OD所在的直线表达式为y=x，
∴点E的坐标为（2，2）
∴OE=2$\sqrt{2}$，
∴⊙H的半径r=$\sqrt{2}$，
如图5，

∵当点E的纵坐标为1时，1=$\frac{x}{4}$，解得x=4，
∴OE=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴⊙H的半径r=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴$\sqrt{2}≤r≤\frac{{\sqrt{17}}}{2}$．

点评本题主要考查了二次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及长方形的面积及双曲线等知识，解题的关键是最佳外延矩形的定义．

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