Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点（不含端点），且EG、FH均过正方形的中心O．

（1）填空：OHOF （“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当四边形EFGH为矩形时，请问线段AE与AH应满足什么数量关系；
（3）当四边形EFGH为正方形时，AO与EH交于点P，求OP2+PHPE的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）

解：当四边形EFGH为矩形时，∠HEF=90°，

∴∠AEH+∠BEF=90°，

在正方形ABCD中，∠HAE=∠EBF=90°，

∴∠AEH+∠AHF=90°，

∴∠AHE=∠BEF，

∴△AEH∽△BFE，

∴ = ，

令AE=x，AH=y，则BF=1﹣y，BE=1﹣x，

∴ = ，

即x﹣y=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），

∴x=y或x+y=1，

∴AE=AH，或AE+AH=1

（3）

解：如图所示，当四边形EFGH为正方形时，∠HOE=90°，OH=OE，

∴∠OEH=∠OHE=45°，

∴∠OHP=∠PAE=45°，

∵∠HPO=∠APE，

∴△OPH∽△EPA，

∴ = ，即PH×PE=OP×AP，

∴OP2+PH×PE=OP2+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA，

∵∠OEP=∠OAE=45°，∠POE=∠EOA，

∴△OPE∽△OEA，

∴ = ，即OP×OA=OE2，

∴OP2+PH×PE=OE2，

∵当OE⊥AB时，OE最小，此时OE= ，

∴当OE= 时，OP2+PH×PE最小，且等于 ．

【解析】解：（1）如图所示，∵正方形ABCD，
∴AO=CO，∠OAH=∠OCF=45°，
又∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH≌△COF，
∴OH=OF；
所以答案是：=；

【考点精析】通过灵活运用相似三角形的应用，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解即可以解答此题．