Question

25、在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD，BE的交点．
（1）当∠BAC为锐角时（如图①），求证：BH=AC；
（2）当∠BAC为钝角时（如图②），其他条件不变，请画出符合要求的图形．这时BH=AC还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可通过全等三角形来证BH=AC，那么关键是证三角形ADC和BDH全等．已知的条件有一组直角，∠DAC和∠EBC都是∠C的余角，因此也相等，只要再证得一组对应边相等即可得出结论．我们发现∠ABC=45°，因此三角形ABD是等腰直角三角形，因此AD=BD，这样两三角形全等的所有条件就都凑齐了，即可得出BH=AC的结论．
（2）同（1）的方法完全相同，也是通过证明三角形HBD和ADC全等来证得．

解答：解：（1）证明：∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠ADC=∠BDH，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．

（2）如图，HB=AC仍然成立．
证明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，∠H=∠C．
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．（AAS）
∴BH=AC．

点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，例如同角或等角的余角相等．