Question

如图，已知反比例函数y=

k1

x

的图象与一次函数y=k₂x+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（-1，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）在直线AB上是否存在一点P，使△APO∽△AOB？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：根据待定系数法求函数解析式，并假设满足条件的p点存在，根据相似就可以求出P的位置．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k1

x

过点（-1，-2）
∴k₁=-1×（-2）=2
∵双曲线y=

2

x

过点（2，n）
∴n=1
由直线y=k₂x+b过点A，B得

2k2+b=1 -k2+b=-2

，
解得

k2=1 b=-1

∴反比例函数关系式为y=

2

x

，一次函数关系式为y=x-1．

（2）存在符合条件的点P，P(

7

6

，

1

6

)．
理由如下：∵A（2，1），B（-1，-2），
∴OA=

22+12

=

5

，AB=

(-1-2)2+(-2-1)2

=3

2

，
∵△APO∽△AOB
∴

AP

AO

=

AO

AB

，
∴AP=

AO2

AB

=

5

3 2

=

5 2

6

，
如图，设直线AB与x轴、y轴分别相交于点C、D，过P点作PE⊥x轴于点E，连接OP，作AF⊥x轴，BG⊥x轴，DH⊥BG．
在直线y=x-1中，令x=0，解得：y=-1，则D的坐标是：（0，-1）；
在直线y=x-1中，令y=0，解得：x=1，则C的坐标是（1，0）；
则CF=OF-OC=2-1=1，AF=1，在直角△ACF中，AC=

AF2+CF2

=

2

，
OC=OD=1，则CD=

OC2+OD2

=

2

，
BH=BG-GH=2-1=1，DH=1，在直角△BDH中，BD=

BH2+DH2

=

2

，
则AC=CD=DB=

2

，
故PC=AC-AP=

2

-

5 2

6

=

2

6

，
在直线y=x-1中，令x=0，则y=-1，则D的坐标是（0，-1），OD=1，
令y=0，则x=1，则C的坐标是：（1，0），则OC=1，
则△OCD是等腰直角三角形．
∴∠OCD=45°，
∴∠ACE=∠OCD=45°．
再由∠ACE=45°得CE=PE=

2

6

×

2

2

=

1

6

，
从而OE=OC+CE=

7

6

，
点P的坐标为P（

7

6

，

1

6

)．

点评：判断存在性问题是中考中常见的题型，需要熟练掌握．