Question

37、m为何值时，方程x²+mx-3=0与方程x²-4x-（m-1）=0有一个公共根？并求出这个公共根．

Answer 1

分析：如果设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x²+mx-3=0的两根为α、-m-α；方程x²-4x-（m-1）=0的两根为α、4-α．再根据两根之积的表达式，可知α（-m-α）=-3 ①，α（4-α）=-（m-1）②．联立①②，即可求出α、m的值．

解答：解：设这个公共根为α．
则方程x²+mx-3=0的两根为α、-m-α；方程x²-4x-（m-1）=0的两根为α、4-α，
由根与系数的关系有：α（-m-α）=-3 ①，α（4-α）=-（m-1） ②．
由②得 m=1-4α+α²③，
把③代入①得：α³-3α²+α-3=0，
即（α-3）（α²+1）=0，
∴α=3．
把α=3代入③得：m=-2．
∴当m=-2时，两个方程有一个公共根，这个公共根是3．

点评：本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．