练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    9．如图，抛物线y=ax2+bx+c过A（0，4），B（4，0），C（2，4）三点，与x轴另一交点记作D，直线y=kx+n过C、D两点．
    （1）求抛物线与直线CD的解析式；
    （2）在抛物线y=ax2+bx+c的对称轴上是否存在一点P，使得PA+PD最小，若存在，请写出点P的坐标，并求出PA+PD的最小值；若不存在，请说明理由；
    （3）若点E为抛物线y=ax2+bx+c的顶点，连接EC、ED，则在直线y=kx+n的上方的抛物线上是否存在一点M，使得S△MCD=S△DEC，若存在，直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（0，4），B（4，0），C（2，4）代入抛物线的解析式可得到关于a、b、c的方程组，从而可求得a、b、c的值；
    （2）连接AB交抛物线的对称轴与点P，连接DP．先求得抛物线的对称轴方程为直线x=1，然后再求得AB的解析式，从而可求得点P的坐标，依据轴对称的性质可知当A、P、B在一条直线上时，AP+DP的最小值等于AB的长；
    （3）过点E作ME∥DC，交抛物线与点M．先求得DC的解析式，然后再求得ME的解析式，最后求得直线ME与抛物线的交点坐标即可．

    解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
    将A（0，4），B（4，0），C（2，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a+4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
    解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=1，c=4．
    ∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4．

    （2）如图1所示：连接AB交抛物线的对称轴与点P，连接DP．

    ∵y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4，
    ∴抛物线的对称轴为x=1，
    ∵点B和点D关于直线x=1对称，
    ∴DP=BP．
    ∴AP+DP=AP+PB．
    ∴当A、P、B在一条直线上时，有最小值，AP+DP的最小值等于AB的长．
    设直线AB的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：4k+4=0，解得k=-1，
    ∴直线AB的解析式为y=-x+4．
    当x=1时，y=3，
    ∴P（1，3）．
    AP+DP的最小值=AB=4$\sqrt{2}$．

    （3）如图2所示：过点E作ME∥DC，交抛物线与点M．

    ∵EM∥DC，
    ∴点M到DC的距离=点E到DC的距离．
    ∵等底等高的两个三角形面积相等，
    ∴S△MCD=S△DEC．
    把y=0代入y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4得：-$\frac{1}{2}$x2+x+4=0，解得x=-2或x=4，
    ∴点D的坐标为（-2，0）．
    将x=1代入入y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4得：y=$\frac{9}{2}$，
    ∴E（1，$\frac{9}{2}$）．
    设直线DC的解析式为y=mx+n，将点D和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{2m+n=4}\end{array}\right.$，解得m=1，n=2．
    ∴直线DC的解析式为y=x+2．
    设直线ME的坐标为y=x+d，将点E的坐标代入得：1+d=$\frac{9}{2}$，解得：d=$\frac{7}{2}$．
    ∴直线ME的解析式为y=x+$\frac{7}{2}$．
    将y=x+$\frac{7}{2}$与y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$．
    ∴点M的坐标为（-1，$\frac{5}{2}$）．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称最短路径问题、三角形的面积公式，明确当A、P、B在一条直线上时，AP+DP有最小值是解答问题（2）的关键，明确相互平行的两条直线的一次项系数相等是解答问题（3）的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．（1）计算：|-3|+tan60°+${（-\frac{2}{3}）}^{0}$；           
    （2）化简：（x-1）2+x（x+1）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    20．下列成语中描述的事件是随机事件的是（　　）
    A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．拔苗助长D．守株待兔

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论：
    ①a＜0，②b＜0，③c＜0，
    其中正确的判断是（　　）
    A．①②B．①③C．②③D．①②③

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    4．设x1，x2是方程x2-2x-1=0的两个实数根，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值是（　　）
    A．-6B．-5C．-6或-5D．6或5

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    14．下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为圆、长方形、长方形，则该几何体是（　　）
    A．圆锥体B．圆柱体C．球体D．长方体

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    4．计算：（3-2$\sqrt{3}$）2=21-12$\sqrt{3}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．计算（2-$\sqrt{3}$）（2+$\sqrt{3}$）2+（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）2．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    2．如图，已知y=kx和双曲线y=$\frac{m}{x}$（m＞0），点A（a，b）（a＞0）在双曲线y=$\frac{m}{x}$上
    （1）当a=b=2时，①直接写出m值4
    ②若k=-2，将直线y=kx平移至双曲线y=$\frac{m}{x}$只有一个交点，求平移后的直线解析式
    （2）将直线y=kx绕怨念O旋转，设旋转后直线与双曲线y=$\frac{m}{x}$交于B、C两点（点B在第一象限）直线AB、AC分别与x轴交于D、E两点，写出$\frac{AB}{AD}$与$\frac{AC}{AE}$之间的数量关系？并说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案