Question

已知三角形的三条边的长是三个连续的正整数，试讨论最小边长分别取什么值时，这个三角形是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形？

Answer 1

解：设三个连续的正整数n，n+1，n+2为三角形的三边，当且仅当n+2＜n+n+1，即n＞1，∴n≥2．
（1）．若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当n²+（n+1）²=（n+2）²，即n²-2n-3=0，（n+1）（n-3）=0，∴n=3．…
（2）．若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当n²+（n+1）²＜（n+2）²，即n²-2n-3＜0，（n+1）（n-3）＜0，∴n＜3，又n≥2，∴n=2．…
（3）．若所构成的三角形是锐角三角形，当且仅当n²+（n+1）²＞（n+2）²，即n²-2n-3＞0，（n+1）（n-3）＞0，∴n＞3，又n≥4，∴n=4．…
综上所述，当n=2时三边为2、3、4，构成钝角三角形；当n=3时三边为3、4、5，构成直角三角形；当n=4时三边为4、5、6，构成锐角三角形．…
分析：若为直角三角形，那么两个较小边的平方和等于最大边的平方；
若为钝角三角形，那么两个较小边的平方和小于最大边的平方；
若为锐角三角形，那么两个较小边的平方和大于最大边的平方，进而根据最小边的取值可得相应的最小值．
点评：考查勾股定理的应用；根据直角三角形中勾股定理的应用判断出钝角三角形，锐角三角形三边的关系是解决本题的关键．