Question

8．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1，3），点P的坐标是（0，b）（b≠0）．直线AP交x轴于点B，记点P关于x轴的对称点为P′，点Q为x轴上一动点．
（1）当b=1时，求OB的长；
（2）当0＜b＜3时，用含b的代数式表示OB的长；
（3）是否存在四边形PBP′Q，使四边形PBP′Q为正方形？若存在，请求出所有满足条件的b和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据b的值表示出直线AP解析式，把A坐标代入求出k的值，确定出AP解析式，进而得出B坐标，确定出OB的长；
（2）设出AP解析式为y=kx+b，把A坐标代入表示出k，即可表示出OB的长；
（3）存在四边形PBP′Q，使四边形PBP′Q为正方形，若四边形PBP′Q为正方形，则有OB=OP=OP′=OQ，列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，即可确定出Q坐标．

解答 解：（1）由b=1，得到P（0，1），
设直线AP解析式为y=kx+1，
把A（1，3）代入得：3=k+1，
解得：k=2，
∴直线OP解析式为y=2x+1，
令y=0，得到x=-$\frac{1}{2}$，
∴B（-$\frac{1}{2}$，0），即OB=$\frac{1}{2}$；
（2）根据题意得：直线AP解析式为y=kx+b，
把（1，3）代入得：3=k+b，即k=3-b，
∴直线解析式为y=（3-b）x+b，
令y=0，得到x=$\frac{b}{b-3}$，即OB=-$\frac{b}{b-3}$；
（3）存在四边形PBP′Q，使四边形PBP′Q为正方形，理由为：
若四边形PBP′Q为正方形，则有OB=OP=OP′=OQ，即-$\frac{b}{b-3}$=b，
解得：b=2，
则b=2，Q（2，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．