Question

【题目】如图，在中，，，动点从点出发沿运动，动点从点出发沿运动，如果、两点同时出发，的速度为1个单位/秒．在上的速度为1个单位/秒，在上的速度为个单位/秒．设出发时间为，记的面积的函数图象为．

（1）当时，的长是_________；

（2）若直线与有两个交点，则的取值范围为_________．

Answer 1

【答案】 且

【解析】

（1）当时，可得BP、BQ的长，利用勾股定理计算即可；

（2）分0≤x≤4和4＜x≤8两种情况，利用三角形的面积公式找出y1关于x函数关系式，依此画出图象T，再逐一分析直线y2＝x＋b与T相切或过（0，0）、（8，4）时b的值，结合图形即可得出结论．

解：（1）当x＝1时，AP＝BQ＝1，

∵AB＝BC＝4，

∴BP＝AB-AP＝3，

∵∠B＝90°，

∴在Rt△BPQ中，PQ＝，

∴PQ的长为；

（2）当0≤x≤4时，y1＝PBBQ＝（4－x）x＝－x2＋2x；

当4＜x≤8时，过点Q作QD⊥BC与点D，如图1所示，

∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，

∴∠ACB＝45°，

∴QD＝CQsin∠ACB＝·（x－4）＝x－4，

∴y1＝BPQD＝（x－4）（x－4）＝（x－4）2．

画出函数图象T，如图2所示．

当直线y2＝x＋b与y1＝－x2＋2x（0≤x≤4）相切时，将y2＝x＋b代入y1＝－x2＋2x中，

整理得：－x2＋x－b＝0，

∵△＝12－4×（－）×（－b）＝0，

∴b＝；

当直线y2＝x＋b过点（0，0）时，有0＝b；

当直线y2＝x＋b过点（8，8）时，有8＝8＋b，

解得：b＝0；

当直线y2＝x＋b与y1＝（x－4）2（4＜x≤8）相切时，

将y2＝x＋b代入y1＝（x－4）2中，

整理得：x2－10x＋16－2b＝0，

∵△＝（－10）2－4×1×（16－2b）＝0，

∴b＝－．

综上所述：当直线y2＝x＋b与T只有两个交点时，b的取值范围为且．

故答案为：且．