练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
    （1）求梯形ABCD的面积S；
    （2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
    ①当点P在B?A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
    ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；
    ③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
    精英家教网
    分析：（1）求面积要先求梯形的高，可根据两底的差和CD的长，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出高后即可求出梯形的面积．
    （2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值．
    ②本题要分三种情况进行讨论：
    一，当P在AB上时，即0＜t≤8，如果两三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP中根据∠C的正切值，求出t的值．
    二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于P，A，D在一条直线上，因此构不成三角形．
    三，当P在CD上时，即10＜t≤12，由于∠ADC是个钝角，因此△ADP是个钝角三角形因此不可能和直角△CQE相似．
    综合三种情况即可得出符合条件的t的值．
    （3）和（2）相同也要分三种情况进行讨论：
    一，当P在AB上时，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．
    二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-t，因此DP，DQ恒相等．
    三，当P在CD上时，即10＜t≤12，情况同二．
    综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．
    解答：精英家教网解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
    ∵AD∥BH，DH∥AB，
    ∴四边形ABHD是平行四边形．
    ∴DH=AB=8；BH=AD=2．
    ∴CH=8-2=6．
    ∵CD=10，
    ∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．
    ∠B=∠DHC=90°．
    ∴梯形ABCD是直角梯形．
    ∴SABCD=
    1
    2
    （AD+BC）AB=
    1
    2
    ×（2+8）×8=40．

    （2）①∵BP=CQ=t，
    ∴AP=8-t，DQ=10-t，
    ∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
    ∴8-t+2+10-t=t+8+t．
    ∴t=3＜8．
    ∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
    ②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C精英家教网
    ∴tan∠ADP=tan∠C=
    8
    6
    =
    4
    3

    ∴
    8-t
    2
    =
    4
    3
    ，∴t=
    16
    3

    若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C
    ∴tan∠APD=tan∠C=
    8
    6
    =
    4
    3
    ，∴
    2
    8-t
    =
    4
    3

    ∴t=
    13
    2

    第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；
    第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；
    ∴t=
    16
    3
    或t=
    13
    2
    时，△PAD与△CQE相似．精英家教网

    ③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
    ∵AP=8-t，AD=2，
    ∴PD=
    		AP2+AD2
    =
    		t2-16t+68
    ．
    ∵CE=
    3
    5
    t，QE=
    4
    5
    t，
    ∴QH=BE=8-
    3
    5
    t，BH=QE=
    4
    5
    t．
    ∴PH=t-
    4
    5
    t=
    1
    5
    t．
    ∴PQ=
    		QH2+PH2
    =
    2
    5
    t    2    -
    48
    5
    t+64
    ，DQ=10-t．精英家教网
    Ⅰ：DQ=DP，10-t=
    		t2-16t+68
    ，
    解得t=8秒．
    Ⅱ：DQ=PQ，10-t=
    2
    5
    t    2    -
    48
    5
    t+64
    ，
    化简得：3t2-52t+180=0
    解得：t=
    26-2
    		34
    3
    ，t=
    26+2
    		34
    3
    ＞8（不合题意舍去）
    ∴t=
    26-2
    		34
    3

    第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10-t．
    ∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
    第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t-10．
    ∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
    综上所述，t=
    26-2
    		34
    3
    或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．精英家教网
    点评：本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（2）中要根据P，Q的不同位置，进行分类讨论，不要漏解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    9、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，BE⊥CD，∠A=110°，AD=3，AB=5，则BC的长为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    设△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积为S2（S1＜S2），当△A1B1C1∽△A2B2C2，且0.3≤
    S1S2
    ≤0.4    时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，连接AC．
    （1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；
    （2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=28cm，BC=28cm，点P从点A开始沿AB边向点B以3cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，当其中一精英家教网点到达终点时，另一点也随之停止．过Q作QD∥AB交AC于点D，连接PD，设运动时间为t秒时，四边形BQDP的面积为s．
    （1）用t的代数式表示QD的长．
    （2）求s关于t的函数解析式，并求出运动几秒梯形BQDP的面积最大？最大面积是多少？
    （3）连接QP，在运动过程中，能否使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2007•遂宁）如图，已知等腰△ABC的面积为4cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为
    3
    3
     cm2．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读理解

    （1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？
    相等
    相等
    （S表示面积）；
    应用拓展
    （2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC=S△ADE+S△EBC；
    解决问题
    （3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案