Question

设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，求m的值．

Answer 1

解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
△=（m-1）²-4m=n²，
其中n是非负整数，于是
m²-6m+1=n²，
所以（m-3）²-n²=8，
（m-3+n）（m-3-n）=8．
由于m-3+n≥m-3-n，并且
（m-3+n）+（m-3-n）=2（m-3）
是偶数，所以m-3+n与m-3-n同奇偶，所以

∴；（舍去）
∴m=6，这时方程的两根为，．
∴二次方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根m的值为6．
分析：利用一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及整数的奇偶性和完全平方数等知识，综合性较强．