Question

【题目】如图，是的直径，点是圆上一点，，垂足为点，交于点，且．

（1）若点是的中点，求证：；

（2）求证：是的切线；

（3）若的半径为10，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）利用SAS证明△BOF≌△CEF即可证得CE=BO；

（2）先证明∠OCB=∠D，因为∠DCF+∠D=90°，所以∠DCF+∠OCB=90°即CD⊥CD，因为OC是⊙O的半径，所以CD是⊙O的切线

（3）在Rt△OCF中，已知OC=10，可求得，根据勾股定理OF=6

证明Rt△OFC∽Rt△OCD，得出，即可求出OD，进而求出DE，即可求出．

（1）∵OD⊥BC，OE是⊙O的半径

∴∠BFO=∠CFE=90°，BF=CF

∵F是OE的中点

∴EF=OF

在△BOF和△CEF中

∴△BOF≌△CEF（SAS）

∴CE=BO

（2）如图，连接OC

∵OB=OC

∴∠OCB=∠B

∵∠B=∠AEC，∠D=∠AEC

∴∠B=∠D

∴∠OCB=∠D

∵OD⊥BC

∴∠DCF+∠D=90°

∴∠DCF+∠OCB=90°即∠OCD=90°

∴CD⊥CD

∵OC是⊙O的半径

∴CD是⊙O的切线

（3）在Rt△OCF中，OC=10

∵OD⊥BC，OE是⊙O的半径

∴

∴在Rt△OCF中，

∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD=90°

∴Rt△OFC∽Rt△OCD

∴即

∴

∴

∴

故答案为：