Question

14．已知如图，在直角坐标系中放入一个边长OA为8的长方形纸片ABCO．
（1）在OA上找一点B′，使EB′=EB，∠EBC=∠EB′C=90°，求证：△CBE≌△CB′E；
（2）写出A点的坐标；
（3）若AE=2，OC=x，△OC B′与△AE B′的面积的和为y，列出y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据题意直接利用HL定理得出：△CBE≌△CB′E；
（2）利用OA=8进而得出A点坐标；
（3）首先表示出OB′，AB′的长进而利用三角形面积得出答案．

解答 （1）证明：∵∠EBC=∠EB′C=90°，
∴△△CBE和△CB′E都是直角三角形，
在Rt△CBE和Rt△CB′E中
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EC}\\{BE=B′E}\end{array}\right.$，
∴Rt△CBE≌Rt△CB′E（HL）；

（2）解：∵边长OA为8，
∴A点的坐标为：（8，0）；

（3）解：∵AE=2，OC=x，
∴BE=B′E=x-2，
∴AB′=$\sqrt{{（x-2）^{2}-2}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-4x}$，
则OB′=8-$\sqrt{{x}^{2}-4x}$，
∴△OC B′与△AE B′的面积的和为：
y=$\frac{1}{2}$x（8-$\sqrt{{x}^{2}-4x}$）+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}-4x}$×2
=4x-（$\frac{1}{2}$x-1）$\sqrt{{x}^{2}-4x}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定以及点的坐标性质和勾股定理等知识，表示出OB′，AB′的长是解题关键．