【题目】如图,菱形ABCD中,∠A是锐角,E为边AD上一点,△ABE沿着BE折叠,使点A的对应点F恰好落在边CD上,连接EF,BF.
(1)若∠A=70°,请直接写出∠ABF的度数.
(2)若点F是CD的中点,
①求sinA的值;
②求证:S△ABE=SABCD.
(3)设=k, =m,试用含k的代数式表示m.
【答案】(1)∠ABF =70°;(2)①sinA=;②证明见解析;(3)m= .
【解析】
(1)如图1中,由四边形ABCD是菱形,可得AB∥CD,∠C=∠A=70°,根据BA=BF=BC,可得∠BFC=∠C=70°,根据两直线平行,内错角相等即可求得∠ABF=∠BFC=70°;
(2)①如图2中,延长EF交BC的延长线于M,作BG⊥CD于G,由BC=BA=BF,继而可得cosA=cos∠BCG=,由此即可求得sinA=sin∠BCG=;
②由已知条件可得到△DEF≌△CMF,根据全等三角形的性质可得EF=FM,继而可推导得出S△ABE=SABCD;
(3)如图3中,设菱形的边长为a,先证明△MFC∽△MBF,可得FM2=MCMB,再根据AD∥MB,可得△DEF∽△CMF从而可得=m,由=k,可得DE=ka,AE=EF=(1﹣k)a,CM=,FM=,继而得[]2=(a+),可得出m=.
(1)如图1中,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,∠C=∠A=70°,
∵BA=BF=BC,
∴∠BFC=∠C=70°,
∴∠ABF=∠BFC=70°;
(2)①如图2中,延长EF交BC的延长线于M,作BG⊥CD于G.
∵BC=BA=BF,
∴CG=GF=CD=BC,
∴cosA=cos∠BCG=,
∴sinA=sin∠BCG=;
②∵四边形ABCD是菱形,F是CD中点,
∴DF=CF,∠D=∠FCM,∠EFD=∠MFC,
∴△DEF≌△CMF,
∴EF=FM,
∴S四边形BCDE=S△EMB,S△BEF=S△MBE,
∴S△ABE=SABCD;
(3)如图3中,设菱形的边长为a.
∵∠A=∠BFE=∠BCD,
∴∠MFC=∠DFE=∠FBC,∵∠M=∠M,
∴△MFC∽△MBF,
∴FM2=MCMB,
∵AD∥MB,
∴△DEF∽△CMF,
∴=m,
∵=k,
∴DE=ka,AE=EF=(1﹣k)a,CM=,FM=,
∴[]2=(a+),
∴m=.
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【题目】(1)请用两种不同的方法列代数式表示图中阴影部分的面积.
方法①_________________;
方法②_________________;
(2)根据(1)写出一个等式________________;
(3)若,.
①求的值。
②,的值.
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【题目】如图,一次函数y=x+k图象过点A(1,0),交y轴于点B,C为y轴负半轴上一点,且OB=BC,过A,C两点的抛物线交直线AB于点D,且CD∥x轴.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)直接写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围.
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【题目】如图,△ABC中,P,Q分别是BC,AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R,S,若AQ=PQ,PR=PS,下面三个结沦:①AS=AR:②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③
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【题目】边长为a的正方形ABCD中,点E是BD上一点,过点E作EF⊥AE交射线CB于点F,连结CE.
(1)若点F在边BC上(如图);
①求证:CE=EF;
②若BC=2BF,求DE的长.
(2)若点F在CB延长线上,BC=2BF,请直接写出DE的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点A(7,0),B(0,4),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D在边BC上,将边OB沿OD折叠,点B的对应点为B′,若点B′到矩形较长两对边的距离之比为1:3,则BB′=________.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AB,AC上一点,将△BCD,△ADE沿CD,DE翻折,点A,B恰好重合于点P处,若△PCD中有一个角等于50°,则∠A度数等于__.
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【题目】如图,已知∠MON=90°,点A在射线OM上运动,点B在射线ON上运动,OA>OB,点P在∠MON的平分线上,PA=PB.
(1)∠APB的大小是否发生变化?请说明理由;
(2)连接AB,点E是AB的中点,点F是OP的中点,求证:EF⊥OP.
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【题目】本学期学了分式方程的解法,下面是晶晶同学的解题过程:
解方程
解:整理,得:……………………………………………………第①步
去分母,得:……………………………………………………………第②步
移项,得:…………………………………………………………………第③步
合并同类项,得………………………………………………………………第④步
系数化1,得:…………………………………………………………………第⑤步
检验:当时,
所以原方程的解是………………………………………………………………第⑥步
上述晶晶的解题辻程从第__________步开始出现错误,错误的原因是_________________.请你帮晶晶改正错误,写出完整的解题过程
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