Question

已知：关于x的方程2x²+kx-1=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值．

Answer 1

分析：若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b²-4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=-1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．

解答：证明：（1）∵a=2，b=k，c=-1
∴△=k²-4×2×（-1）=k²+8，
∵无论k取何值，k²≥0，
∴k²+8＞0，即△＞0，
∴方程2x²+kx-1=0有两个不相等的实数根．

解：（2）把x=-1代入原方程得，2-k-1=0
∴k=1
∴原方程化为2x²+x-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=

1

2

，即另一个根为

1

2

．

点评：本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．