Question

【题目】在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）

（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？
（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？
（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？

Answer 1

【答案】
（1）

解：在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，

∴OC= = =100，

∵ OC= ×100=50

∴雷达的有效探测半径r至少为50海里

（2）

解：作AM⊥BC于M，

∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，

∴∠CAB=90°，

∴AB= BC=30，

在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，

∴BM= AB=15，AM= BM=15 ，

∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15 海里

（3）

假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，

∵∠HBN=∠HNB=15°，

∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，

∴HN=HB=2x，MH= x，

∵BM=15，

∴15= x+2x，

x=30﹣15 ，

∴AN=30 ﹣30，

BN= =15（ ﹣ ），设B军舰速度为a海里/小时，

由题意 ≤ ，

∴a≥20．

∴B军舰速度至少为20海里/小时．

【解析】（1）求出OC，由题意r≥ OC，由此即可解决问题．（2）作AM⊥BC于M，求出AM即可解决问题．（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，先列出方程求出x，再求出BN、AN利用不等式解决问题．本题考查解直角三角形的应用、方位角、直角三角形30°角性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．