Question

（2009•德州）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
求证：四边形OBEC是菱形．

Answer 1

【答案】分析：易得△AOC是等边三角形，则∠AOC=60°，根据圆周角定理得到∠AEC=30°；根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，则∠EAB=30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB=OC，即可判断四边形OBEC是菱形．
解答：证明：在△AOC中，AC=2，
∵AO=OC=2，
∴△AOC是等边三角形．
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°；
而DC为⊙O的切线，
∴OC⊥l，
而BD⊥l，
∴OC∥BD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB=30°，
∴∠EAB=∠AEC．
∴AB∥CE．
∴四边形OBEC为平行四边形．
又∵OB=OC=2．
∴四边形OBEC是菱形．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．