【题目】如图①,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE,BD和CE相交于点F,若△ABC不动,将△ADE绕点A任意旋转一个角度.
(1)求证:△BAD≌△CAE.
(2)如图①,若∠BAC=∠DAE=90°,判断线段BD与CE的关系,并说明理由;
(3)如图②,若∠BAC=∠DAE=60°,求∠BFC的度数;
(4)如图③,若∠BAC=∠DAE= ,直接写出∠BFC的度数(不需说明理由)
【答案】(1)证明见解析;(2)BD⊥CE,理由见解析;(3);(4)
【解析】试题分析:(1)由等边三角形的性质得出AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD,从而得出∠BAD=∠CAE,即可得出△BAD≌△CAE.
(2)判定BD与CE的关系,可以根据角的大小来判定.由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE,进而得△BAD≌△CAE,所以∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB.再由∠BAC=∠DAE=90°,所以BD⊥CE.
(3)根据①的∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB,所以∠BFC=∠BAC,再由∠BAC=∠DAE=60°,所以∠BFC=60°
(4)根据②∠BFC=∠BAC,所以∠BFC=α
试题解析:(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE
在△BAD与△CAE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
(2)BD与CE相互垂直,BD=CE.
由(1)知,△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
∵∠BAC=90°,
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠BFC=90°
∴BD⊥CE.
(3)由题①得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB,
∵∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB,
∴∠BFC=∠BAC
∴∠BFC=60°.
(4)由题(1)得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB,
∵∠BAC=∠DAE=α,
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB,
∴∠BFC=∠BAC
∴∠BFC=α.
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【题目】(1)问题背景:
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;
(2)探索延伸:
如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)结论应用:
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°,试求此时两舰艇之间的距离.
(4)能力提高:
如图4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,试求出MN的长.
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【题目】如图,抛物线交
轴于
,
两点,交
轴于点
,直线
经过坐标原点
,与抛物线的一个交点为
,与抛物线的对称交于点
,连接
,点
,
的坐标分别为
,
.
()求抛物线的解析式,并分别求出点
和点
的坐标.
()在抛物线上是否存在点
,使
≌
,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=52°,∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1,∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2,依此类推,∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5,则∠BD5C的度数是 ( )
A. 56° B. 60° C. 68° D. 94°
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【题目】某学生数学的平时成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别是84分、80分、90分。如果按平时成绩:期中考试成绩:期末考试成绩=3:3:4进行总评,那么他本学期数学总评分应为______分。
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