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(2006•浙江)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0,),直线l2的函数表达式为y=-x+,l1与l2相交于点P.⊙C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a.过点C作CM⊥x轴,垂足是点M.
(1)填空:直线l1的函数表达式是______
【答案】分析:(1)因为直线l1经过点A(-2,0)和点B(0,),可设直线l1的解析式为y=kx+b,将A、B的坐标代入,利用方程组即可求得该解析式,又因直线l2的函数表达式为y=-x+,l1与l2相交于点P,所以将两函数解析式联立得到方程组,解之即可得到交点P的坐标,过P作x轴的垂线段,垂足为H,由P的坐标可知,AH=EH=3,PH=,所以∠PEA=∠PAE=30°,利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,可得到∠FPB是60°;
(2)当C在射线PA的延长线上时,设⊙C和直线l2相切时,D是切点,连接CD,则CD⊥PD.过点P作CM的垂线PG,垂足为G,因为∠CPG=∠CAB=30°,PC=PC,所以可证Rt△CDP≌Rt△PGC,所以PG=CD=R.当点C在射线PA上,⊙C和直线l2相切时,同理可证Rt△CDP≌Rt△PGC,所以PG=CD=R.取R=-2时,C在AP的反向延长线上时,因为P的横坐标为1,所以a=1+R=-1,C在PA上时,因为P的横坐标为1,所以a=-(R-1)=3-3
(3)当⊙C和直线l2不相离时,由(2)知,分两种情况讨论:①当0≤a≤-1时,四边形是一个直角梯形,所以有=,利用二次函数的顶点公式即可求出S的最大值;
②当=3-3≤a<0时,显然⊙C和直线l2相切即a=3-3时,S最大.此时
s最大值=,综合以上①和②,即可求出答案.
解答:解:(1)设直线l1的解析式为y=kx+b,
∵直线l1经过点A(-2,0)和点B(0,),

解得
∴直线l1的解析式为y=x+
联立l1与l2得,

解得
∴P(1,);
过P作x轴的垂线段,垂足为H,
∵P(1,),
∴AH=EH=3,PH=
∴∠PEA=∠PAE=30°,
∴∠FPB=∠PEA+∠PAE=60°;

(2)设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图1所示,D是切点,连接CD,则CD⊥PD.过点P作CM的垂线PG,垂足为G,则Rt△CDP≌Rt△PGC(∠PCD=∠CPG=30°,CP=PC),
∴PG=CD=R.
当点C在射线PA上,⊙C和直线l2相切时,同理可证.
取R=-2时,a=1+R=-1,或a=-(R-1)=3-3

(3)当⊙C和直线l2不相离时,由(2)知,分两种情况讨论:
①如图2,当0≤a≤-1时,
=
时,(满足a≤-1),S有最大值.此时s最大值=);
②当=3-3≤a<0时,显然⊙C和直线l2相切即a=3-3时,S最大.此时
s最大值=
综合以上①和②,当a=3或a=时,存在S的最大值,其最大面积为
点评:考查一次函数的解析式、图象、性质和圆的相关知识,及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力.
此题也较为新颖,符合新课标的理念,揭示了求最值的一般方法,本题的难度设置也较为合适,使同学们都能有发挥自己能力的空间.
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