Question

17．如图，四边形ABCD中，BA=BC，DA=DC，且sin∠D=$\frac{3}{5}$，∠B=45°，则$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{3}$．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，如图，则△ABE为等腰直角三角形，设AE=BE=a，则AB=BC=$\sqrt{2}$a，EC=（$\sqrt{2}$-1）a，在Rt△CDF中，利用sin∠D=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{3}{5}$，设CF=3x，则CD=5x，得到DF=4x，AD=CD=5x，所以AF=5x-4x=x，根据勾股得到a²+[（$\sqrt{2}$-1）a]²=（3x）²+x²，则可计算出$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{5}{2-\sqrt{2}}$，然后根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：作AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，如图，
在Rt△ABE中，∵∠B=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴AE=BE，
设AE=BE=a，则AB=BC=$\sqrt{2}$a，
∴EC=（$\sqrt{2}$-1）a，
在Rt△CDF中，sin∠D=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{3}{5}$，
设CF=3x，则CD=5x，
∴DF=4x，AD=CD=5x，
∴AF=5x-4x=x，
∵AC²=AE²+CE²=CF²+AF²，
∴a²+[（$\sqrt{2}$-1）a]²=（3x）²+x²，
∴$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{10}{4-2\sqrt{2}}$=$\frac{5}{2-\sqrt{2}}$，
∵$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AE•BC}{\frac{1}{2}CF•AD}$=$\frac{a•\sqrt{2}a}{3x•5x}$=$\frac{\sqrt{2}}{15}$•$\frac{5}{2-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{2}+1}{3}$．

点评 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理添加辅助线得到直角三角形是解决此题的根据．