Question

把抛物线l₁：y=-x²向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线l₂．如图，点A、B分别是抛物线l₂与x轴的交点，点C是抛物线l₂与y轴的交点．
（1）直接写出抛物线l₂的解析式及其对称轴；
（2）在抛物线l₂的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；
（3）若点D是抛物线l₂上的一动点，且点D在第一象限内，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，DE与直线BC交于点F．设D点的横坐标为t．试探究：
①四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；
②四边形CEBCD能否为梯形？若能，请求出符合条件的D点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到l₂的解析式和对称轴；
（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小，依此求点P的坐标；
（3）①反证法推出矛盾的结论，得出四边形DCEB不能为平行四边形；
②分情况1：若CD∥BE；情况2：若CE∥BD两种情况讨论求得四边形CEBCD为梯形时符合条件的D点坐标．

解答：解：（1）l₂：y=-（x-1）²+4，对称轴为直线x=1；（3分）

（2）如图1，连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．（4分）
∵AC长为定值，
∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小．
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=-x²+2x+3与y轴交点C的坐标为（0，3）．
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小．（5分）
设直线BC的解析式为y=kx+3，将B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．
∴y=-x+3（6分）
∴当x=1时，y=2．
∴点P的坐标为（1，2）．（7分）

（3）①四边形DCEB不能为平行四边形．（8分）
若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．
∵DE⊥x轴，
∴DE∥y轴．
∴

OE

EB

=

CF

BF

=1，
即OE=BE=1.5
当x_F=1.5时，y_F=-1.5+3=1.5，
即EF=1.5．
当x_D=1.5时，y_D=-（1.5-1）²+4=3.75，即DE=3.75．
∴DF=DE-EF=3.75-1.5=2.25＞1.5．
即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾．
∴四边形DCEB不能为平行四边形．（10分）
②四边形DCEB能为梯形．
情况1：若CD∥BE，则y_C=y_D=3．
当y_D=3时，解得x_D=2，易得OE=2，BE=1．
∴CD≠BE．（11分）
∴当CD∥BE时，四边形DCEB为梯形．
∴当D的坐标为（2，3）时，四边形DCEB为梯形．（12分）
情况2：若CE∥BD，由①易得CD与BE不平行．即当CE∥BD时，四边形DCEB为梯形．
依题意得：OE=t，BE=3-t，DE=-t²+2t+3．
∵DE∥y轴，D点的横坐标为t，
∴F点的横坐标为t．
∵CE∥BD，
∴∠CEO=∠DBE．
∴tan∠CEO=tan∠DBE，
∴

OC

OE

=

DE

BE

，即

3

t

=

-(t-3)(t+1)

3-t

，
整理得：t²+t=3．（13分）
解得：t1=

13 -1

2

，t2=

- 13 -1

2

（不合题意，舍去）．
当t=

13 -1

2

时，
解得y_D=-(

13 -1

2

-1)2+4=

3 13 -3

2

．
∴当D的坐标为（

13 -1

2

，

3 13 -3

2

）时，四边形DCEB为梯形．（14分）
综上，当D的坐标为（2，3）或（

13 -1

2

，

3 13 -3

2

）时，四边形DCEB为梯形．
注：此题有多种解法，其他解法（或写法）可参照以上的评分标准给分．

点评：此题主要考查了二次函数图象的平移、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定、图形周长的求法等等知识的综合应用能力．