Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm²？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．
（3）此题要分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．

解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，
根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，
∴DM=

102-82

=6，
∴CD=16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，
点P在AB上，点Q在DC上，如图，
由题知：BP=10-3t，DQ=2t
∴10-3t=2t，解得t=2
此时，BP=DQ=4，CQ=12
∴BQ=

82+122

=4

13

∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=8+8

13

；


（3）①当点P在线段AB上时，即0≤t≤

10

3

时，如图
S△BPQ=

1

2

BP•BC=

1

2

(10-3t)×8=20
∴t=

5

3

．

②当点P在线段BC上时，即

10

3

＜t≤6时，如图
BP=3t-10，CQ=16-2t
∴S△BPQ=

1

2

BP•CQ=

1

2

(3t-10)×(16-2t)=20
化简得：3t²-34t+100=0，△=-44＜0，所以方程无实数解．

③当点P在线段CD上时，
若点P在Q的右侧，即6≤t≤

34

5

，
则有PQ=34-5t
S△⊆BPQ=

1

2

(34-5t)×8=20，
t=

29

5

＜6，舍去
若点P在Q的左侧，
即

34

5

＜t≤8，
则有PQ=5t-34，S△BPQ=

1

2

(5t-34)×8=20，
t=7.8．
综合得，满足条件的t存在，其值分别为t1=

5

3

，t₂=7.8．

点评：本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．