Question

【题目】如图，已知是的直径，过点作，交弦于点，交于点，且使.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长.

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）PE= 4﹣2 ．

【解析】

（1）连接OC，由在计算的圆周角为直角可得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质及已知条件易得∠BCO=∠ACP，由此可得∠OCP=90°，即可证得PC是⊙O的切线；（2）在Rt△OCP中，求得OC=2 ，OP=4，由此即可求得PE的长.

（1）证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCO+∠ACO=90°，

∵OC=OB，

∴∠B=∠BCO，

∵∠PCA=∠ABC，

∴∠BCO=∠ACP，

∴∠ACP+∠OCA=90°，

∴∠OCP=90°，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，
∴OC=2 ，OP=2PC=4，

∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2 ．