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【题目】如图,中,,连接,将绕点旋转,当(即)与交于一点(即)与交于一点时,给出以下结论:①;②;③;④的周长的最小值是.其中正确的是( )

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④

【答案】B

【解析】

根据题意可证ABE≌△BDF,可判断①②③,由DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF,则当EF最小时DEF的周长最小,根据垂线段最短,可得BEAD时,BE最小,即EF最小,即可求此时BDE周长最小值.

解:∵AB=BC=CD=AD=4,∠A=C=60°
∴△ABDBCD为等边三角形,
∴∠A=BDC=60°
∵将BCD绕点B旋转到BC'D'位置,
∴∠ABD'=DBC',且AB=BD,∠A=DBC'
∴△ABE≌△BFD
AE=DFBE=BF,∠AEB=BFD
∴∠BED+BFD=180°
故①正确,③错误;
∵∠ABD=60°,∠ABE=DBF
∴∠EBF=60°
故②正确
∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF
∴当EF最小时,∵△DEF的周长最小.
∵∠EBF=60°BE=BF
∴△BEF是等边三角形,
EF=BE
∴当BEAD时,BE长度最小,即EF长度最小,
AB=4,∠A=60°BEAD

EB=

∴△DEF的周长最小值为4+
故④正确,

综上所述:①②④说法正确,
故选:B

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(参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47;sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93.)

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