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    实践探究题：
    （1）如图1，在直角坐标系中，一个直角边为4等腰直角三角形板ABC的直角顶点B放至点O的位置，点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AKL的位置，求直线AL的解析式；
    （2）如图2，将任意两个等腰直角三角板△ABC和△MNP放至直角坐标系中，直角顶点B、N分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点M、A都在x轴的负半轴上，顶点C、P分别在第二象限和第三象限，AC和MP的中点分别为E、F，请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
    （3）如图3，将第（1）问中的等腰直角三角形板ABC顺时针旋转180°至△OMN的位置．G为线段OC的延长线上任意一点，作GH⊥AG交x轴于H，并交直线MN于Q．请探究下面两个结论：①
    GN+GC
    NQ
    为定值；②
    GN-GC
    NQ
    为定值．其中只有一个是正确的，请判断正确的结论，并求出其值．
    分析：（1）求得A、L的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
    （2）过E作EG⊥x轴于G，过E作EH⊥y轴于H，易证△AEG≌△EBH，则EG=EH，即E到∠BOA的两边距离相等，则E在∠BOA的平分线上，同理F在∠AON的平分线上，据此即可证得∠EOF=90°，从而判断；
    （3）过Q作EQ⊥NQ交y轴于E，延长AC交EQ于F，连GF，证明△AGC≌△QGF，即可求得．
    解答：解：（1）A的坐标是：（-4，0），L的坐标是（-8，4），设直线AL的解析式是：y=kx+b，
    则
    -4k+b=0
    -8k+b=4
    ，
    解得：
    k=-1
    b=-4
    ，
    则直线AL的解析式为：y=-x-4；

    （2）△OEF是直角三角形．
    证明：连BE，则BE⊥AC，且BE=AE． 
    过E作EG⊥x轴于G，过E作EH⊥y轴于H．
    则△AEG≌△EBH，
    ∴EG=EH 
    ∴OE平分∠BOA，
    同理OF平分∠AON，
    ∴∠EOF=90°即△OEF是直角三角形；

    （3）结论①正确．
    过Q作EQ⊥NQ交y轴于E，延长AC交EQ于F，连GF，AC=CM=QF．
    ∴过G分别作GL⊥NA，GJ⊥NQ，
    ∵G是∠ANM的角平分线NC上一点，
    ∴GL=GJ，
    同（1）可得：△AGL≌△QGJ，
    ∴GA=GQ，
    ∵∠ANQ=90°，GL⊥NA，GJ⊥NQ，
    ∴∠LGJ=90°，
    又∵∠AGH=90°，
    ∴∠GAC=∠FQG，
    ∴在△AGC和△QGF中，
    GA=GQ
    ∠GAC=∠FQG
    AC=FQ
    ，
    ∴△AGC≌△QGF，
    ∴GC=GF=GE，
    GN+GC=GN+GE=NE=
    		2
    NQ．
    ∴
    GN+GC
    NQ
    =
    		2
    ．
    点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的全等的判定与性质，正确证明△AGC≌△QGF是关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网猜想、探究题：
    （1）观察与发现
    小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？
    （2）实践与运用
    将矩形纸片ABCD（AB＜BC）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．
    猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的大小．精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
    操作示例
    当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
    思考发现
    小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
    实践探究
    【小题1】正方形FGCH的面积是         ；（用含a， b的式子表示）
    【小题2】类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

    【小题3】联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2012届北京通州区中考模拟数学卷 题型：解答题

    在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
    操作示例
    当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
    思考发现
    小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
    实践探究
    【小题1】正方形FGCH的面积是         ；（用含a， b的式子表示）
    【小题2】类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

    【小题3】联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2011年河南省商丘市外国语中学中考数学模拟试卷（七）（解析版） 题型：解答题

    猜想、探究题：
    （1）观察与发现
    小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？

    （2）实践与运用
    将矩形纸片ABCD（AB＜CD）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．
    猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的大小．

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