【题目】某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质(a、b为常数)”时,进行了如下活动.
(实验操作)取不同的x的值,计算代数式ax2+bx+3的值.
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
ax2+bx+3 | … | 0 | 3 | 4 | … |
(1)根据上表,计算出a、b的值,并补充完整表格.(观察猜想)实验小组组员,观察表格,提出以下猜想.同学甲说:“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”.同学乙说:“不论x取何值,代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”.…
(2)请你也提出一个合理的猜想: (验证猜想)我们知道,猜想有可能是正确的,也可能是错误的.
(3)请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确,若不正确,请举出反例;若正确,请加以说理.
【答案】(1)3,0;(2)当x=﹣2和x=4时,代数式(ax2+bx+3)的值是相等的;(3)甲的说法不正确,反例见解析,乙的说法正确,见解析
【解析】
(1)通过解方程组求得a、b的值.
(2)可以根据二次函数y=ax2+bx+3的图象性质进行猜想;
(3)举出反例即可判断.
解:(1)当x=﹣1时,a﹣b+3=0;
当x=1时,a+b+3=4.
可得方程组.
解得:.
当x=2时,ax2+bx+3=3;
当x=3时,ax2+bx+3=0.
故答案是:3;0;
(2)言之有理即可,比如当x<1时,(ax2+bx+3)随x的增大而增大;当x=﹣2和x=4时,代数式(ax2+bx+3)的值是相等的;
故答案是:当x=﹣2和x=4时,代数式(ax2+bx+3)的值是相等的(答案不唯一);
(3)甲的说法不正确.
举反例:当x=1时,y=4;但当x=2时,y=3,所以y随x的增大而增大,这个说法不正确.
乙的说法正确.
证明:﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4.
∵(x﹣1)2≥0.
∴﹣(x﹣1)2+4≤4.
∴不论x取何值,代数式ax2+bx+3的值一定不大于4.
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【题目】如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点E在AC上(且不与点A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
(1)请直接写出线段AF,AE的数量关系 ;
(2)将△CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,如图②,连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系,并证明你的结论;
(3)在图②的基础上,将△CED绕点C继续逆时针旋转,请判断(2)问中的结论是否发生变化?若不变,结合图③写出证明过程;若变化,请说明理由.
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【题目】如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥ AC于点E, CD、 BE交于点O,且AO平分∠BAC,则图中的全等三角形共有_________________对。
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【题目】如图1在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE又怎样的关系?并加以证明.
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【题目】一辆货车从超市出发,向东走了 3 千米到达小彬家,继续走 2.5 米到达小颖家,然后向西走了 10 千米到达小明家,最后回 到超市.
(1)小明家距小彬家多远?
(2)货车一共行驶了多少千米?
(3)货车每千米耗油 0.2 升,这次共耗油多少升?
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【题目】已知数轴上有 A、B、C 三点,分别表示有理数-26,-10,10,动点 P 从 A 出发,以每秒 1 个 单位的速度向终点 C 移动,设点 P 移动时间为 t 秒.
(1)用含 t 的代数式表示 P 到点 A 和点C 的距离:PA= ,PC=
(2)当点 P 运动到 B 点时,点 Q 从 A 点出发,以每秒 3 个单位的速 度向 C 点运动,Q 点到达 C 点后,再立即以同样的速度返回,当点 P 运动到点 C 时,P、Q 两点运动停止,
①当 P、Q 两点运动停止时,求点 P 和点 Q 的距离;
②求当 t 为何值时 P、Q 两点恰好在途中相遇.
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【题目】如图,已知AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.
(1)点A到直线BC的距离是线段_______的长;
(2)点D到直线AF的距离是线段_______的长;
(3)线段AF的长表示点A到直线_______距离;
(4)线段CE的长表示点C到直线_______距离;
(5)线段BE的长表示点_______到直线______距离;
(6)线段CF的长表示点_______到直线______距离;
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【题目】如图,已知AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上,∠EPF=90°,∠BEP=∠GEP,则∠1与∠2的数量关系为( )
A. ∠1=∠2B. ∠1=2∠2C. ∠1=3∠2D. ∠1=4∠2
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