Question

【题目】已知如图，在 ABC 中，BAC 90° ,分别过顶点 B、C 作 A 点的直线的垂线垂足分别为 D、E,试探究线段 BD、CE、DE 之间的关系.

(1)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 1 的位置，直接写出 BD、CE、DE 之间的数量 为 ；

(2)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 2 的位置，直接写出 BD、CE、DE 之间的数量 为 ；

(3)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 3 的位置，写出 BD、CE、DE 之间的数量，并证明 你的结论；

(4)如图 4，如果将 ABC 放在直角坐标系中，若点 A 的坐标为(-1,1),求 OB-OC 的 值.请写出必要的解答步骤.

Answer 1

【答案】（1）DE=BD+CE；（2）DE=BD-CE；（3）DE=CE-BD，证明见解析；（4）2

【解析】

（1）∠ ADB=∠ AEC=90°，转换得到∠ DBA=∠ EAC，证明△ DAB≌△ ECA，即可得出线段 BD、CE、DE 之间的关系；（2）（3）同理可证△ DAB≌△ ECA即可求出BD、CE、DE 之间的关系；（4）作AD垂直与y轴于点D，作AE垂直于x轴于点E，A点坐标为（-1,1），则四边形AEOD为正方形，证明△ BAE≌△ CAD，即可算出OB-OC的值

（1）∵BD⊥ DE，CE⊥ DE，

∴∠ ADB=∠ AEC=90°，

∵∠ BAC=90°，

∴∠ DAB+∠ EAC=90°，∠ DAB+∠ DBA=90°，

∴∠ DBA=∠ EAC，

在△ DAB和△ ECA中

∴△ DAB≌△ ECA（AAS）

∴DB=EA，DA=EC，

∴ DE=BD+CE；

（2）∵∠ BAC=90°，

∴∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∴∠DBA=∠EAC，

在△ DAB和△ ECA中

∴△DAB≌△ECA（AAS）

∴DB=EA，DA=EC，

∴ DE=BD-CE；

（3）∵∠ BAC=90°，

∴∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∴∠DBA=∠EAC，

在△ DAB和△ ECA中

∴△DAB≌△ECA（AAS）

∴DB=EA，DA=EC，

∴ DE=CE-BD；

（4）如图，作AD垂直与y轴于点D，作AE垂直于x轴于点E，

∵A点坐标为（-1,1），

∴∠ADC=∠AEO=90°，AE=AD=1，

∴四边形AEOD为正方形，

∴∠ EAD=90°，

∴∠EAC+∠ DAC=90°，∠ EAC+∠ BAE=90°，

∴∠ BAE=∠ CAD，

在△ BAE和△ CAD中

∴△ BAE ≌△ CAD（AAS）

∴BE=DC，

∴OB=OE+BE，OC=CD-OD，

∴OB-OC=（OE+EB）-（CD-OD）=OE+OD=2