Question

【题目】如图点 P 是等边△ABC 内一点,将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△BDC，连接 PD.

(1)求证：△DPC 是等边三角形；

(2)当∠APC=150°时，试判断△DPB 的形状，并说明理由；

(3)当∠APB=100°且△DPB 是等腰三角形，求∠APC 的度数。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）直角三角形；（3）100°或 130°或 160°.

【解析】

（1）由旋转的性质可得：PC=DC，∠PCD=∠ACB=60°，即可得△DPC是等边三角形；
（2）由△APC≌△BDC，可得∠BDC=∠APC=150°，由△DPC是等边三角形，可得∠BDP=90°，可判断△DPB的形状是直角三角形；
（3）分三种情况讨论：①PD=PB，②PD=DB，③PB=DB．

（1）如图，

由旋转的性质得：△APC≌△BDC，PC=DC，∠PCD=∠ACB，
∵在等边△ABC有∠ACB=60°
∴∠PCD=60°，
∴△DPC是等边三角形；
（2）△DPB是直角三角形．
理由：由旋转有∠BDC=∠APC=150°，
又由（1）△DPC是等边三角形，
∴∠PDC=60°
∴∠BDP=∠BDC-∠PDC=90°，
∴△DPB是直角三角形；
（3）设∠APC=x，则∠BPD=200°-x，∠BDP=x-60°
①若PD=PB，则（200°-x）+2（x-60°）=180°，∴x=100°；
②若PD=DB，则2（200°-x）+（x-60°）=180°，∴x=160°；
③若PB=DB，则200°-x=x-60°，∴x=130°．