Question

【题目】在△ABF中，C为AF上一点且AB=AC．

（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）若∠BAF=2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）BC=2，BF=．

【解析】试题分析：（1）作AB的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为所求；

（2）根据圆周角定理得到∠AEB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠CAB，等量代换得到∠1=∠CBF，求出∠CBF+∠2=90°，然后，根据切线的判定即可得到结论；

（3）根据已知条件得到sin∠1=，求出BE=ABsin∠1=，根据勾股定理得到BC=2BE=2，由勾股定理得AE= =2，于是得到sin∠2=，cos∠2=，根据三角函数的定义得到AG=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

试题解析：（1）如图1，所示⊙O为所求作的圆；

（2）连结AE，

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°，

∵AB=AC，∴∠1=∠CAB，

∵∠BAF=2∠CBF，∴∠CBF=CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，

∵即∠ABF=90°，∵AB是⊙O的直径，

∴直线BF是⊙O的切线；

（3）过点C作CG⊥AB于点G，

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，

∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=ABsin∠1=，

∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= =2，∴sin∠2=，cos∠2=，

在Rt△CBG中，GC=BC sin∠2=2×=4，GB=BCcos∠2=2，∴AG=3，

∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴ ，∴BF==．