Question

已知∠A是△ABC中最小的内角，∠B和∠C将此三角形的外接圆分成两个弧，U为落在不含A点的弧上且异于B、C的一点，线段AB、AC的垂直平分线分别交AU于V、W，直线BV、CW相交于T，求证：AU=TB+TC．

Answer 1

考点：四点共圆,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：设线段AB、AC的垂直平分线交点为0，则点O就是△ABC外接圆的圆心．在线段AU上取一点M，使得AM=CT，在线段AU上取一点N，使得AN=BT，连接OM、OT、ON、OA、OU，如图所示．易证△MWO≌△TWO，则有OM=OT．同理可得ON=OT，从而有OM=ON，进而可证到△AMO≌△UNO，则有AM=UN，就可得到AU=AN+UN=BT+AM=BT+CT．

解答：解：设线段AB、AC的垂直平分线交点为0，
则点O就是△ABC外接圆的圆心．
在线段AU上取一点M，使得AM=CT，
在线段AU上取一点N，使得AN=BT，
连接OM、OT、ON、OA、OU，如图所示．
∵OD垂直平分AC，
∴AW=CW，∠AWO=∠CWO．
∵AM=CT，
∴MW=TW．
在△MWO和△TWO中，

MW=TW ∠MWO=∠TWO WO=WO

，
∴△MWO≌△TWO，
∴OM=OT．
同理可得：ON=OT．
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠AMO=∠UNO．
∵OA=OU，
∴∠OAM=∠OUN．
在△AMO和△UNO中，

∠AMO=∠UNO ∠OAM=∠OUN OA=OU

，
∴△AMO≌△UNO，
∴AM=UN，
∴AU=AN+UN=BT+AM=BT+CT．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外心、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，运用了“截长补短法”，这种方法在几何的证明题中，应用广泛，通过“截长补短”可构造等角、等边或全等三角形．