Question

已知：如图所示，在△ABC中，BC=100，边BC上的高为50．在这个三角形内有一个内接矩形PQRS．
（1）若矩形的长PQ与宽PS的比是3：1，求这个矩形的长与宽；
（2）当这个矩形面积最大时，它的长与宽各是多少？

Answer 1

分析：（1）设矩形的长PQ=x，再根据相似三角形的判定定理得出△APQ∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例可用x表示出AE及DE的长，再根据长PQ与宽PS的比是3：1即可得出x的值，故可得出结论；
（2）根据（1）中用x表示出的矩形的长与宽可得出矩形面积的表达式，故可得出它的长与宽．

解答：解：（1）设矩形的长PQ=x，
∵PQ∥BC，BC=100，边BC上的高为50，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AE

AD

=

PQ

BC

，即

AE

50

=

x

100

，解得AE=

1

2

x，
∴DE=PS=50-

1

2

x，
∵矩形的长PQ与宽PS的比是3：1，
∴3（50-

1

2

x）=x，解得x=60，
∴PQ=60，PS=20；

（2）∵由（1）知PQ=x，PS=50-

1

2

x，
∴S_矩形=PQ•PS=x•（50-

1

2

x）=-

1

2

x²+50x（0＜x＜100），
当x=-

b

2a

=-

50

2×(- 1 2 )

=50时，这个矩形面积最大，
∵x=50在定义域内，
∴当x=50时，这个矩形面积最大，
∴此时PQ=50，PS=50-

1

2

×50=25．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．