如图.在平面直角坐标系xOy中.直线l1:y=-3x+63交x轴.y轴于A.B两点.点M(m.n)是线段AB上一动点.点C是线段OA的三等分点．(1)求点C的坐标,(2)连接CM.将△ACM绕点M旋转180°.得到△A′C′M．①当BM=12AM时.连接A′C.AC′.若过原点O的直线l2将四边形A′CAC′分成面积相等的两个四边形.确定此直线的解析式,②过点A′作A′H⊥x轴于H.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y=-

x+6

交x轴、y轴于A、B两点，点M（m，n）是线段AB上一动点，点C是线段OA的三等分点．
（1）求点C的坐标；
（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A′C′M．
①当BM=

AM时，连接A′C、AC′，若过原点O的直线l₂将四边形A′CAC′分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
②过点A′作A′H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A′、H、C、M构成的四边形为梯形？

（1）根据题意：A（6，0），B（0，6

）
∵C是线段OA的三等分点
∴C（2，0）或C（4，0）

（2）①如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
则△BMN∽△BAO
∵BM=

AM
∴BM=

BA
∴BN=

BO
∴N（0，4

）
∵点M在直线y=-

x+6

上
∴M（2，4

）
∵△A'C'M是由△ACM绕点M旋转180°得到的
∴A'C'∥AC
∴无论是C₁、C₂点，四边形A'CAC'是平行四边形且M为对称中心
∴所求的直线l₂必过点M（2，4

）
∴直线l₂的解析式为：y=2

x
②当C₁（2，0）时，
第一种情况：H在C点左侧
若四边形A'HC₁M是梯形
∵A'M与HC₁不平行
∴A'H∥MC₁此时M（2，4

）
第二种情况：H在C点右侧
若四边形A'C₁HM是梯形
∵A'M与C1H不平行
∴A'C₁∥HM
∵M是线段AA'的中点
∴H是线段AC₁的中点
∴H（4，0）
由OA=6，OB=6

∴∠OAB=60°
∴点M的横坐标为5
∴M（5，

）
当C₂（4，0）时，同理可得
第一种情况：H在C₂点左侧时，M（4，2

）
第二种情况：H在C₂点右侧时，M（

，

）
综上所述，所求M点的坐标为：M（2，4

），M（5，

），M（4，2

）或M（

，

）．

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