Question

4．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论正确个数的有（　　）
①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S_{四边形BFGC}=$\sqrt{3}$-1．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS证得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出①正确；
②由DF⊥AB，F为边AB的中点，证得AD=BD，证出△ABD为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由AC=2AB•cos∠BAC，AG=$\frac{AF}{cos∠BAC}$，求出AC，AG，即可得出②正确；
③由勾股定理求出DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$，由GE=tan∠2•ED求出GE，即可得出③正确；
④由S_{四边形BFGC}=S_△ABC-S_△AGF求出数值，即可得出④不正确．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，
∵∠1=∠2，
∴∠GAD=∠2，
∴AG=GD，
∵GE⊥AD，
∴GE垂直平分AD，
∴AE=ED，
∵F为边AB的中点，
∴AF=AE，
在△AFG和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{∠FAG=∠EAG}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AEG（SAS），
∴∠AFG=∠AEG=90°，
∴DF⊥AB，
∴①正确；

∵DF⊥AB，F为边AB的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=1，AD=BD，
∵AB=AD，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAC=∠1=∠2=30°，
∴AC=2AB•cos∠BAC=2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
AG=$\frac{AF}{cos∠BAC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CG=AC-AG=2$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴CG=2GA，
∴②正确；

∵GE垂直平分AD，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD=1，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
GE=tan∠2•ED=tan30°×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DF+GE=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=CG，
∴③正确；

∵∠BAC=∠1=30°，
∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，
FG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
S_{四边形BFGC}=S_△ABC-S_△AGF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
∴④不正确；
故选：C．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．