Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连接CE，
（1）如果CE⊥AB，AB=CD，BE=3AE，求∠B的度数；
（2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S₁和S₂，且2S₁=3S₂，试求

BE

AE

的值．

Answer 1

分析：（1）首先延长BA与CD，然后根据面积的关系求得△MBC是等边三角形，即可得∠B为60°，
（2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得AE与BE的比．

解答：解：（1）延长BA、CD相交于点M．如图1：
∵AD∥BC，
∴△MAD∽△MBC，
∴

AD

BC

=

MA

MB

=

1

3

．
∴MB=3MA．设MA=2x，则MB=6x．
∴AB=4x．
∵BE=3AE，
∴BE=3x，AE=x．
∴BE=EM=3x，E为MB的中点．
又∵CE⊥AB，
∴CB=MC．
又∵MB=MC，
∴△MBC为等边三角形．
∴∠B=60°；

（2）延长BA、CD相交于点F，如图2：
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∴

S△FAD

S△FBC

=(

AD

BC

)2=

1

9

，
设S_△FAD=S₃=a，则S_△FBC=9a，S₁+S₂=8a，
又∵2S₁=3S₂，
∴S1=

24

5

a，S2=

16

5

a，S₃=a．
∵△EFC与△CEB等高，
∴

FE

EB

=

S△FEC

S△ECB

=

S3+S2

S1

=

7

8

．
设FE=7k，则BE=8k，FB=15k，
∴FA=

1

3

FB=5k．
∴AE=7k-5k=2k．
∴

BE

AE

=4．

点评：本题考查了如果三角形的高相等，则面积比等于其底边的比．解此题的关键是准确地作出辅助线与数形结合思想的应用，难度适中．