Question

如图，直线y=

3

x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，抛物线L：y=ax²+bx+c的顶点G在x轴上，且过（0，4）和（4，4）两点．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）抛物线L上是否存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，若存在，请求出C点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）将抛物线L沿x轴平行移动得抛物线L₁，其顶点为P，同时将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，使点D落在抛物线L₁上．试问这样的抛物线L₁是否存在，若存在，求出L₁对应的函数关系式，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的顶点在x轴上，那么抛物线与x轴只有一个交点，即△=0，然后将已知的两点坐标代入抛物线中联立三式即可求出抛物线的解析式．
（2）若四边形ABGC是以BG为底的梯形，那么AC∥BG，可先求出A点的坐标，然后将A点纵坐标代入抛物线中即可求出C点坐标．要注意的是四边形ABGC是梯形，因此AC≠BG，据此可将不合题意的值舍去．
（3）假设存在这样的抛物线，先设出平移后抛物线的解析式，解题的大致思路：根据平移后抛物线的解析式写出P点的坐标，然后根据折叠的性质求出D点的坐标，已知D在抛物线上，将D点代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线L过（0，4）和（4，4）两点，由抛物线的对称性知对称轴为x=2，
∴G（2，0），
将（2，0）、（4，4）代入y=ax²+bx+4，
得

4a+2b+4=0 16a+4b+4=4

，
解得

a=1 b=-4

，
∴抛物线L的解析式为y=x²-4x+4．

（2）∵直线y=

3

x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，
∴A（0，3），B（-

3

，0）．
若抛物线L上存在满足的点C，则AC∥BG，
∴C点纵坐标此为3，
设C（m，3），
又∵C在抛物线L，代入解析式：（m-2）²=3，
∴m=2±

3

．
当m=2+

3

时，BG=2+

3

，AG=2+

3

，
∴BG∥AG且BG=AG，
此时四边形ABGC是平行四边形，舍去m=2+

3

，
当m=2-

3

时，BG=2-

3

，AG=2-

3

，
∴BG∥AG且BG≠AG，
此时四边形ABGC是梯形．
故存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，其坐标为：
C（2-

3

，3）．

（3）假设抛物线L_1是存在的，且对应的函数关系式为y=（x-n）²，
∴顶点P（n，0）．
Rt△ABO中，AO=3，BO=

3

，
可得∠ABO=60°，
又∵△ABD≌△ABP．
∴∠ABD=60°，BD=BP=

3

+n．
如图，过D作DN⊥x轴于N点，
Rt△BND中，BD=

3

+n，∠DBN=60°，
∴DN=

3

2

（

3

+n），BN=

3 +n

2

，
∴D（-

3

-

3 +n

2

，

3+ 3 n

2

），
即D（-

3 3 +n

2

，

3+ 3 n

2

），
又∵D点在抛物线y=（x-n）²上，
∴

3+ 3 n

2

=（-

3 3 +n

2

-n）²，
整理：9n²+16

3

+21=0．
解得n=-

3

，n=-

7 3

9

，当n=-

3

时，P与B重合，不能构成三角形，舍去，
∴当n=-

7 3

9

时，此时抛物线为y=（x+

7 3

9

）²．

点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、梯形的判定、图形的翻转折叠等知识．