Question

20．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b²；③2a+b=0；④a-b+c＞2．其中正确的结论的是①②④．

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到为b=2a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到△=b²-4ac＞0，则可对②进行判断；利用b=2a可对③进行判断；利用x=-1时函数值为正数可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以②正确；
∵b=2a，
∴2a-b=0，所以③错误；
∵抛物线开口向下，x=-1是对称轴，所以x=-1对应的y值是最大值，
∴a-b+c＞2，所以④正确．
故答案是：①②④．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．