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    如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F.求证：AE＝CF.

     

     

    【答案】

    证明见解析.

    【解析】

    试题分析：根据角平分线的性质先得出∠BEC=∠DFA，然后再证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出AE=CF．

    试题解析：证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，

    ∴∠ACB=∠CAD．

    ∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，

    ∴∠BEC=∠ABE+∠BAE=∠FDC+∠FCD=∠DFA，

    在△BEC与△DFA中，

    ∵，

    ∴△BEC≌△DFA，

    ∴AF=CE，

    ∴AE=CF．

    考点: 1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．

     

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    （提示：平面图形的性质通常从它的边、内角、对角线、周长、面积等入手．）

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    （1）求证：PA=PC．
    （2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．

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    （Ⅱ）若将条件中的“点E是BC的中点”改为“E是BC上任意一点”，其余条件不变，则结论AE=EF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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