Question

9．如图，将矩形纸片AFCD沿对角线AC折叠得到如图所示的图形，AB与CD交于点E．
（1）若AB=8，AD=4，求AE的长；
（2）P为线段AC上的任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，若PM+PN=8，DE=6，求△AEC的面积．

Answer 1

分析 （1）先补全矩形，再根据翻折的性质可得∠BAC=∠B′AC，再根据矩形的对边互相平行可得AB′∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠B′AC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠BAC，根据等角对等边可得AE=CE，设AE=CE=x，表示出DE，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）过点P作PM′⊥AB′于M′，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PM′，然后根据等角的余角相等求出∠APM′=∠CPN，判断出点M′、P、N三点共线，从而得到AD=PM+PN，再利用勾股定理列式求出AE，最后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：（1）补全矩形ABCD如图所示，
由翻折的性质得，∠BAC=∠B′AC，
∵矩形ABCD的边AB′∥CD，
∴∠B′AC=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，
则DE=CD-CE=AB-CE=8-x，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴AE=5；

（2）过点P作PM′⊥AB′于M′，
∵∠BAC=∠B′AC，PM⊥AB，
∴PM=PM′，
∵PN⊥CD，
∴∠ACD+∠CPN=90°，
又∵∠B′AC+∠APM′=90°，
∴∠APM′=∠CPN，
∴M′、P、N三点共线，
∵PM+PN=4，
∴PM+PN=PM′+PN=AD=4，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴CE=AE=10，
∴△AEC的面积=$\frac{1}{2}$CE•AD=$\frac{1}{2}$×10×8=40．

点评 本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线构造出矩形，并求出PM+PN的长度等于矩形的边AD的长是解题的关键．