Question

如图，直线l₁的解析表达式为：y=-3x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A，B，直线l₁，l₂交于点C．
（1）求直线l₂的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l₂上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；
（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线l₂的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；
x=3，，
∴，
∴，
∴直线l₂的解析表达式为 ；

（2）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
由 ，
解得 ，
∴C（2，-3），
∵AD=3，
∴S_△ADC=×3×|-3|=；

（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，
ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|-3|=3，
则P到AB距离=3，
∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，
∴点P纵坐标是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3
x=6，
所以点P的坐标为（6，3）；

（4）如图所示：存在；
∵A（4，0），C（2，-3），D（1，0），
如图：若以CD为对角线，
则CH=AD=3，
∴点H的坐标为：（-1，-3）；
若以AC为对角线，
则CH′=AD=3，
∴点H′（5，-3）；
若以AD为对角线，
可得H″（3，3）；
∴点H的坐标为：（3，3）（5，-3）（-1，-3）
分析：（1）结合图形可知点B和点A在坐标，故设l₂的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；
（2）已知l₁的解析式，令y=0求出x的值即可得出点D在坐标；联立两直线方程组，求出交点C的坐标，进而可求出S_△ADC；
（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距离；
（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为H、C坐标之和等于A、D坐标之和，设出代入即可得出H的坐标．
点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．