Question

已知：如图，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F.

【小题1】猜想ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
【小题2】若cos∠MAN=，AE=，求阴影部分的面积.

Answer 1

【小题1】（1）DE与⊙O相切.
理由如下：
连结OE.

∵AE平分∠MAN,
∴∠1=∠2.
∵OA=OE,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3,
∴OE∥AD.
∴∠OEF=∠ADF=90°
即OE⊥DE，垂足为E.
又∵点E在半圆O上，
∴ED与⊙O相切.
【小题2】∵cos∠MAN=,
∴∠MAN=60°.
∴∠2=∠MAN=×60°=30°,
∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°.
∴∠2=∠AFD，
∴EF=AE=.
在Rt△OEF中，tan∠OFE=，
∴tan30°=，[来源:学科网ZXXK]
∴OE="1."
∵∠4=∠MAN=60°，
∴S阴=

=.

解析