精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2013年四川自贡14分)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA=

(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值;
(3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)如答图1,过点D作DE⊥x轴于点E,则DE=3,OE=2。

,∴BE=6。
∴OB=BE﹣OE=4。∴B(﹣4,0)。
∵点B(﹣4,0)、D(2,3)在抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)上,
,解得
∴抛物线的解析式为:
(2)在抛物线中,
令x=0,得y=﹣2,∴C(0,﹣2)。
令y=0,得x=﹣4或1,∴A(1,0)。
设点M坐标为(m,n)(m<0,n<0)。
如答图1,过点M作MF⊥x轴于点F,则MF=﹣n,OF=﹣m,BF=4+m。

∵点M(m,n)在抛物线上,∴,代入上式得:

∴当m=﹣2时,四边形BMCA面积有最大值,最大值为9。
(3)假设存在这样的⊙Q,
如答图2所示,设直线x=﹣2与x轴交于点G,与直线AC交于点F

设直线AC的解析式为y=kx+b,
将A(1,0)、C(0,﹣2)代入得:
,解得:
∴直线AC解析式为:y=2x﹣2。
令x=﹣2,得y=﹣6,∴F(﹣2,﹣6),GF=6。
在Rt△AGF中,由勾股定理得:

设Q(﹣2,q),则在Rt△AGF中,由勾股定理得:

设⊙Q与直线AC相切于点E,则QE=OQ=
在Rt△AGF与Rt△QEF中,
∵∠AGF=∠QEF=90°,∠AFG=∠QFE,∴Rt△AGF∽Rt△QEF。
,即
化简得:,解得q=4或q=﹣1。
∴存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆,点Q的坐标为(﹣2,4)或(﹣2,﹣1)。
(1)如答图1所示,利用已知条件求出点B的坐标,然后用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)如答图1所示,首先求出四边形BMCA面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值。
(3)如答图2所示,首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标,从而确定了Rt△AGF的各个边长;然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF,利用相似线段比例关系列出方程,求出点Q的坐标。
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知M1(3,2),N1(5,﹣1),线段M1N1平移至线段MN处(注:M1与M,N1与N分别为对应点).

(1)若M(﹣2,5),请直接写出N点坐标.
(2)在(1)问的条件下,点N在抛物线上,求该抛物线对应的函数解析式.
(3)在(2)问条件下,若抛物线顶点为B,与y轴交于点A,点E为线段AB中点,点C(0,m)是y轴负半轴上一动点,线段EC与线段BO相交于F,且OC:OF=2:,求m的值.
(4)在(3)问条件下,动点P从B点出发,沿x轴正方向匀速运动,点P运动到什么位置时(即BP长为多少),将△ABP沿边PE折叠,△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的,求此时BP的长度.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

(2013年四川绵阳12分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,﹣2),交x轴于A、B两点,其中A(﹣1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.

(1)求二次函数的解析式和B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.

(1)求菱形ABCD的周长;
(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;
(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N.

(1)求此抛物线的解析式;
(2)求证:AO=AM;
(3)探究:
①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值;
②试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线经过点A、B、C.

(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其坐标为t,
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;
②是否存在一点P,使△PCD得面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

二次函数(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是
A.a>0 B.当﹣1<x<3时,y>0
C.c<0 D.当x≥1时,y随x的增大而增大

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为(xp,yp).由xp﹣x1=x2﹣xp,得,同理,所以AB的中点坐标为.由勾股定理得,所以A、B两点间的距离公式为
注:上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立.
解答下列问题:

如图2,直线l:y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点,P为AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线于点C.
(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标;
(2)连结AB、AC,求证△ABC为直角三角形;
(3)将直线l平移到C点时得到直线l′,求两直线l与l′的距离.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是
A.a<0,b<0,c>0,b2﹣4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2﹣4ac<0
C.a<0,b>0,c<0,b2﹣4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2﹣4ac>0

查看答案和解析>>

同步练习册答案