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12.设关于x的一元二次方程x2+2px+1=0有两个实数根,一根大于1,另一根小于1,试求示数p的范围.
两位同学通过探索提出自己的部分想法如下:
甲:求p的范围,只需要考虑判别式△>0即可.
乙:设两根为x1,x2,由题意得(x2-1)(x1-1)<0,根据根与系数关系可得p的范围.
请你综合参考甲乙两人的想法,解决上述问题.

分析 先利用甲的方法,根据根的判别式△=4p2-4>0可得出p的取值范围,再设方程的两根为x1,x2,利用根与系数的关系找出两根之和与两根之积,利用乙的方法将不等式进行变形,代入数据即可得出p的取值范围,综合甲乙的结论即可得出结果.

解答 解:∵方程x2+2px+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=(2p)2-4×1×1=4p2-4>0,
∴p>1或p<-1.
设方程的两根为x1,x2,由题意可得:
(x2-1)(x1-1)<0,
∵x1+x2=-2p,x1•x2=1,
∴(x2-1)(x1-1)=x1•x2-(x1+x2)+1=2+2p<0,
解得:p<-1.
∴p<-1.

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,解题的关键是分别利用甲乙的方法找出p的取值范围.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.

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