Question

如图，ABCD为菱形，∠ABC=β，有一个半径为r的⊙O，圆心O在菱形的内部，且到B点的距离为a，当圆心O在菱形内部运动时，⊙O的半径和圆心到B点的距离a都发生变化．
（1）当满足什么条件时，圆心O在菱形内部运动时⊙O与菱形的两边BA、BC（或BA、BC的延长线）都相切？
（2）当圆心O在菱形内部运动时，请你求出满足什么条件时⊙O与菱形的两边BA、BC（或BA、BC的延长线）都相交、相离的所有情况．

Answer 1

分析：（1）当圆心O有可能在菱形的对角线上时：过O作OE⊥BA于E．
根据∠EBO与β的关系求出∠EBO的正弦值，然后根据半径与正弦值的关系确定圆与直线的关系；
（2）当圆心O有可能在菱形的对角线上时：过O作OE⊥BA于E．
根据∠EBO与β的关系求出∠EBO的正弦值，然后根据半径与正弦值的关系确定圆与直线的关系；
也有可能不在对角线上：过O作OG⊥BA于G，作OH⊥BC于H．
根据∠ABF和∠CBF与β的关系求出∠ABF和∠CBF的正弦值，然后根据半径与正弦值的关系确定圆与直线的关系．

解答：解：（1）设圆心O是菱形ABCD对角线BD上任意一点，过O作OE⊥BA于E．
在Rt△OEB中，∠EBO=

β

2

，OB=a，
sin∠EBO=sin

β

2

=

OE

OB

=

OE

a

，
∴OE=asin

β

2

．
当r=sin

β

2

时，⊙O的圆心在BD上运动时⊙O与BA、BC（或BA、BC的延长线）都相切．

（2）①设⊙O的圆心在菱形ABCD对角线上运动时，
当r＞sin

β

2

时，⊙O的圆心在BD上运动时⊙O与BA、BC（或BA、BC的延长线）都相交．
当r＜sin

β

2

时，⊙O的圆心在BD上运动时⊙O与BA、BC（或BA、BC的延长线）都相离．
②设⊙O的圆心不在菱形ABCD对角线上运动时，
如图，在菱形ABCD内任作BF，BF不是对角线，设∠ABF＞

β

2

，则∠CBF＜

β

2

，
设O为BF上任意一点，过O作OG⊥BA于G，作OH⊥BC于H，
在Rt△OGB中，sin∠ABF=

OG

a

，
∴OG=asin∠ABF．
在Rt△OHB中，sin∠CBF=

OH

a

，
∴OH=asin∠CBF．
当r＞sin∠ABF（∠ABF＞

β

2

）时，⊙O的圆心在BF上运动时，⊙O与BA、BC（或BA、BC的延长线）都相交．
当r＜sin∠CBF（∠CBF＜

β

2

）时，⊙O的圆心在BF上运动时，⊙O与BA、BC（或BA、BC的延长线）都相离．

点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．